HOMOMORFISMA
Definisi:
(A,*) dan (B,.) adalah grup-grup. Suatu fungsi f:A®B disebut homomorfisma jika f(a1*a2) = f(a1).f(a2), untuk setiap a1,a2 Î A.
Contoh-contoh:
· G=himpunan bilangan rasional dengan operasi +, G’=himpunan bilangan riil (tanpa 0) dengan operasi x. Pemetaan j:G®G’ didefinisikan sebagai j(x)=2x, untuk semua x Î G. Perhatikan bahwa j(a+b) = 2a+b = 2a x 2b = j(a) x j(b), sehingga j adalah homomorfisma.
· G adalah himpunan bilangan riil positif dengan operasi x. G’ adalah himpunan bilangan riil dengan operasi +. Pemetaan j: G ® G’ sebagai berikut: j(x) = log x, untuk setiap x Î G. Pemetaan: j(ab) = log ab = log a + log b = j(a) + j(b), sehingga j adalah homomorfisma.
Definisi:
· Homomorfisma onto disebut epimorfisma. Onto artinya: untuk setiap g’ Î G’, ada g Î G, sedemikian sehingga j(g) = g’.
· Homomorfisma satu-satu disebut monomorfisma. Satu-satu artinya: jika j(x) = j(y), maka x=y.
· Homomorfisma satu-satu dan onto disebut isomorfisma.
· Homomorfisma j: G ® G (dari grup ke dalam dirinya sendiri) disebut endomorfisma.
· Suatu endomorfisma yang bijektif disebut automorfisma.
Contoh:
· Jika ada 2 buah grup yang memiliki struktur yang sama, misalnya grup multiplikatif {e=1, a= -1, b=i, c= -i} dan grup matriks:
dengan operasi perkalian matriks. Keduanya memiliki daftar Cayley yang identik. Perhatikan daftar Cayley berikut.
| x | E | A | B | C | | x | e | a | b | c |
| E | E | A | B | C | | e | e | a | b | c |
| A | A | E | C | B | | a | a | e | c | b |
| B | B | C | A | E | | b | b | c | a | e |
| C | C | B | E | A | | c | c | b | e | a |
Kedua grup memiliki daftar Cayley yang identik, sehingga dikatakan kedua grup isomorf.
· B = {0,1,2} dengan operasi + modulo 3 dan G={S3=I, S, S2} dengan operasi rotasi segitiga sama sisi terhadap pusat dengan sudut putar 120 derajat adalah grup-grup. Definisikan: j(0)=I=S3, j(1) = S, j(2)=S2. Perhatikanlah bahwa j adalah isomorfisma.
· Ambil grup aditif bilangan bulat (Z,+). Buat pemetaan j:Z®Z sebagai berikut: j(x)=2x. Maka j(x+y)=2(x+y)= 2x+2y=j(x)+j(y), untuk setiap x,yÎZ. Bentuk j merupakan suatu endomorfisma.
· Ambil grup (R*,x), yakni himpunan semua bilangan riil taknol dengan operasi perkalian. Juga grup S={-1,1} dengan operasi perkalian. Definisikan pemetaan: j:R*®S sebagai berikut: j(x)=1 bila x>0 dan j(x)=-1 bila x<0. Maka untuk setiap x,yÎR* berlaku j(xy)=j(x).j(y). Juga j adalah onto, sehingga j adalah epimorfisma.
· G adalah himpunan bilangan riil positif dengan operasi x. G’ adalah himpunan bilangan riil dengan operasi +. Pemetaan j: G ® G’ sebagai berikut: j(x) = log x, untuk setiap x Î G. Pemetaan: j(ab) = log ab = log a + log b = j(a) + j(b), sehingga j adalah homomorfisma. Karena j injektif, maka j adalah monomorfisma.
· G adalah grup bilangan bulat dengan operasi +. Pemetaan j:G®G didefinisikan sebagai j(x)=-x. Apakah j automorfisma? Jelaskan.
Definisi:
Jika f adalah homomorfisma dari G ke G’, maka himpunan semua elemen G yang dipetakan oleh f (onto) ke elemen e’ÎG’ disebut kernel dari homomorfisma f.
Teorema:
Misalkan G dan G’ adalah dua grup, e dan e’ masing-masing adalah unsur kesatuannya. Jika f suatu homomorfisma dari G ke G’, maka:
· f(e)=e’
· f(x-1)=[f(x)]-1 untuk setiap xÎG
Sifat-sifat Isomorfisma
Beberapa teorema:
· Jika f:G®G’ suatu isomorfisma, e dan e’ masing-masing adalah unsur kesatuan G dan G’, maka f(e)=e’.
· Jika f:G®G’ suatu isomorfisma, dan f(a)=a’, aÎG, a’ÎG’, maka f(a-1)=[f(a)]-1.
· Jika f:G®G’ suatu isomorfisma dan order elemen a adalah n, maka order f(a) juga adalah n.
· Relasi isomorfisma dalam himpunan grup adalah relasi ekuivalen.
Buktikanlah.
Isomorfisma Grup Siklis
Beberapa teorema:
· Grup siklis yang berorder sama adalah isomorfis.
· Suatu grup siklis yang tak berhingga isomorfis dengan grup aditif bilangan bulat.
· Suatu grup siklis berorder n isomorfis dengan grup aditif kelas residu modulo n.
· Suatu subgrup dari grup siklis tak berhingga isomorfis dengan grup aditif kelipatan bulat suatu bilangan bulat.
Perhatikanlah bahwa subgrup dari suatu grup siklis tak berhingga isomorfis dengan grup itu sendiri.
Catatan:
Grup aditif kelas residu modulo n adalah grup {0,1,2,3,...,n-1} dengan operasi penjumlahan modulo n.
Teorema Cayley
Setiap grup berhingga isomorfis dengan suatu grup permutasi.
Contoh-contoh:
· Buktikan bahwa grup aditif G={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} isomorfis dengan grup aditif G’={...,-3m,-2m,-m,0,m,2m,3m,...}, untuk m=sembarang bilangan bulat.
· Misalkan G grup aditif bilangan riil dan G’ grup multiplikatif semua bilangan riil positif. Tunjukkan bahwa pemetaan f:G®G’, f(x)=ex, xÎG, dan g:G’®G, g(x)=ln x, x’ÎG’, masing-masing adalah suatu isomorfisma.
· G adalah grup {0,1,2,3,4} dengan operasi penjumlahan modulo 5 dan G’ adalah grup siklis berorder 5, G’={a,a2,a3,a4,a5=e}. Buktikan bahwa pemetaan f:G®G’, f(n)=an untuk setiap nÎG adalah suatu isomorfisma dari G pada G’.
· Carilah grup permutasi regular yang isomorfis dengan grup multiplikatif G={1,-1,i,-i}.
_KELOMPOK 1
TUGAS OK
